برای حل این مسئله، دو عدد طبیعی \( x \) و \( y \) را در نظر بگیرید. شرایط مسئله به صورت زیر بیان شده است:
1. \( x + y = 18 \)
2. \( x^2 + y^2 = 198 \)
ابتدا با استفاده از معادله اول، \( y \) را برحسب \( x \) می‌نویسیم:
\[ y = 18 - x \]
سپس این مقدار \( y \) را در معادله دوم جایگذاری می‌کنیم:
\[ x^2 + (18 - x)^2 = 198 \]
اکنون این معادله را باز می‌کنیم:
\[ x^2 + (18 - x)^2 = x^2 + (18^2 - 36x + x^2) = 198 \]
\[ 2x^2 - 36x + 324 = 198 \]
حال، معادله را ساده می‌کنیم:
\[ 2x^2 - 36x + 324 = 198 \]
ابتدا 198 را از دو طرف معادله کم می‌کنیم:
\[ 2x^2 - 36x + 126 = 0 \]
ساده‌سازی می‌کنیم (در طرفین بر 2 تقسیم می‌کنیم):
\[ x^2 - 18x + 63 = 0 \]
این معادله مربعی را می‌توان با استفاده از روش دلتا یا فرمول حل معادلات درجه دو (فرمول pq) حل کرد.
ابتدا دلتا را محاسبه می‌کنیم:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \times 1 \times 63 = 324 - 252 = 72 \]
اکنون ریشه‌های معادله را پیدا می‌کنیم:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{72}}{2} \]
دلتای فوق را ساده می‌کنیم:
\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \]
بنابراین:
\[ x = \frac{18 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 9 \pm 3\sqrt{2} \]
ریشه‌های معادله به صورت زیر است:
1. \( x_1 = 9 + 3\sqrt{2} \)
2. \( x_2 = 9 - 3\sqrt{2} \)
اما چون \(\sqrt{2}\) عددی گنگ است، نمی‌تواند پاسخ صحیحی برای مسئله که اعداد طبیعی می‌خواهد باشد. لذا با توجه به دقت حساب، ممکن است جایگزین‌های دیگر را بررسی کنید تا اعداد طبیعی صحیح به دست آید.
