این سوال مربوط به جمع یک دنباله کسرهاست و میتواند با استفاده از تلخیص دنباله حل شود.
دنباله داده شده به شکل زیر است:
\[ \frac{1}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{3}{5 \times 7} + \cdots + \frac{6}{41 \times 43} \]
این دنباله خاصیتی تلخیصپذیر دارد. کسری که در هر جمله است، به صورت زیر نوشته میشود:
\[ \frac{n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{4n^2 - 1} \]
این کسرها میتوانند به صورت زیر تلخیص شوند:
\[ \frac{n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \]
با توجه به اینکه ما میخواهیم مجموع را محاسبه کنیم، تلخیص صورت میگیرد و تنها اعضای پایانی باقی میمانند:
\[ \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{43} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{42}{43} = \frac{21}{43} \]
بنابراین، گزینه صحیح \((ب)\) است که \(\frac{21}{43}\) میباشد.
