برای حل این مسئله ابتدا باید از تئوری تشابه در مثلثها استفاده کنیم. از آنجا که \( CD \parallel AB \) و \( DE \parallel BC \) هستند، مثلثها \( \triangle OAB \sim \triangle OCD \) و \( \triangle OCD \sim \triangle ODE \) مشابه هستند.
ابتدا نسبت تشابه را در \( \triangle OAB \) و \( \triangle OCD \) پیدا میکنیم:
\[
\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD}
\]
با توجه به اطلاعات مسئله \( OA = 3 \) و \( AB = 5 \) داریم، بنابراین:
\[
\frac{3}{OC} = \frac{5}{CD}
\]
فرض کنید \( OC = x \) و \( CD = y \)، بنابراین:
\[
\frac{3}{x} = \frac{5}{y}
\]
سپس برای مثلثهای \( \triangle OCD \) و \( \triangle ODE \) داریم:
\[
\frac{OC}{OD} = \frac{CD}{DE}
\]
با توجه به مشابهت مثلثها:
اگر \( OC = x \) و \( OD = x + y \) باشد، آنگاه:
\[
\frac{x}{x+y} = \frac{y}{BE}
\]
از این دو معادله استفاده میکنیم:
۱. \(5x = 3y \)
۲. با توجه به مشابهت:
فرض کنید \( BE = z \) باشد، بنابراین:
\[
\frac{y}{z} = \frac{x}{x+y}
\]
حال حل سیستم معادلات خطی:
۱. از معادله اول \( y = \frac{5}{3}x \) به دست میآید.
۲. در معادله دوم جایگذاری میکنیم:
\[
z = x + \frac{5}{3}x = \frac{8}{3}x
\]
بنابراین طول \( BE \) برابر است با:
\( BE = \frac{8}{3} \times \frac{3}{2} = 4 \)
