برای نوشتن معادله درجه دوم که ریشههای آن \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \) و \(-\sqrt{5}\) باشند، از رابطه زیر استفاده میکنیم:
برای معادله درجه دوم به فرم \( ax^2 + bx + c = 0 \)، اگر \( r_1 \) و \( r_2 \) ریشههای معادله باشند، داریم:
- جمع ریشهها: \( r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} \)
- حاصلضرب ریشهها: \( r_1 \times r_2 = \frac{c}{a} \)
در اینجا، ریشهها \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \) و \(-\sqrt{5}\) هستند.
1. جمع ریشهها:
\[
(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (-\sqrt{5}) = \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{5}
\]
2. حاصلضرب ریشهها:
\[
(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \times (-\sqrt{5}) = -(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \times \sqrt{5} = -\sqrt{15} - \sqrt{10}
\]
بنابراین، معادله درجه دوم به فرم زیر خواهد بود:
\[
x^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{5})x - (\sqrt{15} + \sqrt{10}) = 0
\]
این معادله با استفاده از خواص ریشهها نوشته شده است.
