برای رسم تابع \( f(x) = x + \lfloor x \rfloor \) و بررسی اینکه آیا تابع یک به یک است، به صورت زیر عمل میکنیم:
تابع \( \lfloor x \rfloor \) به معنای قسمت صحیح عدد \( x \) است. برای مثال، اگر \( x = 2.3 \)، آنگاه \( \lfloor x \rfloor = 2 \).
### رسم تابع:
تابع \( f(x) = x + \lfloor x \rfloor \) در بازه \( [n, n+1) \) (که \( n \) یک عدد صحیح است) به صورت خطی با شیب 1 و عرض از مبدا \( 2n \) است:
1. برای \( x \) در بازه \( [0, 1) \): \( f(x) = x + 0 = x \).
2. برای \( x \) در بازه \( [1, 2) \): \( f(x) = x + 1 \).
3. برای \( x \) در بازه \( [2, 3) \): \( f(x) = x + 2 \).
4. ...
به همین ترتیب، برای هر بازهای که \( x \) یک واحد افزایش پیدا میکند، تابع هم همان میزان افزایش پیدا میکند.
### بررسی یک به یک بودن:
یک تابع زمانی یک به یک است که هر مقدار \( y \) از خروجی تابع متناظر با دقیقاً یک مقدار \( x \) از ورودی باشد.
در تابع \( f(x) = x + \lfloor x \rfloor \):
- اگر \( x_1 \) و \( x_2 \) در همان بازه باشند، \( f(x_1) \neq f(x_2) \).
- اما اگر \( x_1 \) و \( x_2 \) در بازههای متفاوتی باشند، میتوانند همان مقدار خروجی را بدهند.
به عنوان مثال:
- \( f(0.5) = 0.5 \) و \( f(1.5) = 2.5 \)
- اما \( f(1.5) = 2.5 \) و \( f(0.5+1) = f(1.5) = 2.5 \)
پس تابع یک به یک نیست.
#### نتیجهگیری:
تابع \( f(x) = x + \lfloor x \rfloor \) یک به یک نیست، زیرا برای ورودیهای مختلف ممکن است خروجیهای یکسانی وجود داشته باشد.
