برای حل نامعادله زیر:
\[
\frac{|x-1|(x^2-9)}{x^2+2x-4} \geq 0
\]
باید نقاط بحرانی نعدادده و مخرج را تعیین کنیم.
1. **صورت نامعادله**:
- \( |x-1| \) برای \( x = 1 \) صفر میشود.
- \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \) برای \( x = 3 \) و \( x = -3 \) صفر میشود.
2. **مخرج نامعادله**:
\[
x^2 + 2x - 4 = 0
\]
با استفاده از فرمول مربع، ریشههای این عبارت را پیدا میکنیم:
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2 \times 1}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2}
\]
\[
x = -1 \pm \sqrt{5}
\]
نقاط بحرانی مخرج عبارتند از \( x = -1 + \sqrt{5} \) و \( x = -1 - \sqrt{5} \).
3. **نمودار علامت**:
نمودار علامت را با توجه به نقاط بحرانی \( x = -3 \)، \( x = -1 - \sqrt{5} \)، \( x = 1 \)، \( x = -1 + \sqrt{5} \)، و \( x = 3 \) میکشیم. با توجه به این نقاط، بازههای زیر را بررسی میکنیم:
- \( (-\infty, -3) \)
- \( (-3, -1 - \sqrt{5}) \)
- \( (-1 - \sqrt{5}, 1) \)
- \( (1, -1 + \sqrt{5}) \)
- \( (-1 + \sqrt{5}, 3) \)
- \( (3, \infty) \)
در هر بازه، علامت صورت و مخرج را تعیین کرده و حاصل نهایی را مییابیم. شرط ما این است که نامعادله باید بزرگتر مساوی صفر باشد.
بنابراین بازههایی که شرایط نامعادله را برآورده میکنند را در نظر میگیریم و جواب نهایی را به صورت بازه بیان میکنیم.
