برای حل این سوال، رابطههای مثلثاتی و تساویهای دادهشده را بررسی میکنیم:
صورت مسئله:
\[
\sin \alpha \cdot \tan \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} - \cos \alpha
\]
1. جایگزین کردن تعریف \(\tan \alpha\):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]
بنابراین:
\[
\sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha} - \cos \alpha
\]
2. ساده کردن قسمت چپ معادله:
\[
\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha} - \cos \alpha
\]
3. انتقال \(\cos \alpha\) به کسر سمت راست:
\[
\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos \alpha}
\]
4. استفاده از هویت \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\):
\[
\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}
\]
این تساوی برقرار است و بنابراین معادله صحیح است.
معادله دادهشده اثبات شد.
