پرسش دادهشده بهصورت زیر است:
\[
\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos \alpha - 1
\]
برای حل این معادله، میتوانیم از هویتهای مثلثاتی استفاده کنیم.
### روش حل
از هویت مثلثاتی \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) داریم:
1. \(\sin^2 \alpha\) را جابجا کرده و در معادله اصلی جایگذاری میکنیم:
\[
\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha
\]
قرار دادن آن در معادله:
\[
\cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha) = 2 \cos \alpha - 1
\]
2. معادله ساده میشود به:
\[
\cos^2 \alpha - 1 + \cos^2 \alpha = 2 \cos \alpha - 1
\]
3. معادله را جمع میکنیم:
\[
2 \cos^2 \alpha - 1 = 2 \cos \alpha - 1
\]
4. دو طرف معادله را سادهتر میکنیم:
\[
2 \cos^2 \alpha = 2 \cos \alpha
\]
5. با تقسیم بر ۲، میرسیم به:
\[
\cos^2 \alpha = \cos \alpha
\]
6. \(\cos \alpha\) را به عنوان جایگزار قرار میدهیم:
\[
\cos \alpha (\cos \alpha - 1) = 0
\]
بنابراین، دو راه حل داریم:
- \(\cos \alpha = 0\)
- \(\cos \alpha = 1\)
---
### راهحلها:
1. اگر \(\cos \alpha = 0\):
\( \alpha = 90^\circ + n \times 180^\circ, n \in \mathbb{Z} \)
2. اگر \(\cos \alpha = 1\):
\( \alpha = 0^\circ + n \times 360^\circ, n \in \mathbb{Z} \)
اینها جوابهای ممکن هستند.
