برای حل выражение \( \frac{3}{\sqrt{27}} + \sqrt{12} + \sqrt{75} \)، ابتدا نیاز داریم که ریشهها را محاسبه کنیم و سپس آنها را جمع کنیم. بیایید به ترتیب جلو برویم.
1. **محاسبه \( \sqrt{27} \)**:
\[
\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}
\]
2. **محاسبه \( \sqrt{12} \)**:
\[
\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
\]
3. **محاسبه \( \sqrt{75} \)**:
\[
\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}
\]
حالا که مقدار ریشهها را یافتیم، میتوانیم عبارت را جایگزین کنیم:
\[
\frac{3}{\sqrt{27}} + \sqrt{12} + \sqrt{75} = \frac{3}{3\sqrt{3}} + 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}
\]
4. **سادهسازی عبارت اول**:
\[
\frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
بنابراین عبارت را به شکل زیر داریم:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} + 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} + 7\sqrt{3}
\]
5. **برای راحتی، میتوانیم عبارت را به یک شکل مشترک تبدیل کنیم**. با ضرب و تقسیم \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) به \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\):
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
حالا میتوانیم عبارت را به صورت زیر بنویسیم:
\[
\frac{\sqrt{3}}{3} + 7\sqrt{3}
\]
6. **سادهسازی عبارت**:
برای جمع کردن این دو، باید کسرها را به یک شکل مشابه برسانیم. به همین خاطر، \(7\sqrt{3}\) را به کسر تبدیل میکنیم:
\[
7\sqrt{3} = \frac{21\sqrt{3}}{3}
\]
حالا میتوانیم \( \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{21\sqrt{3}}{3} \) را جمع کنیم:
\[
= \frac{\sqrt{3} + 21\sqrt{3}}{3} = \frac{22\sqrt{3}}{3}
\]
پاسخ نهایی عبارت زیر است:
\[
\frac{22\sqrt{3}}{3}
\]
