برای حل این سوال، ابتدا به معادله داده شده نگاه می‌کنیم: \[ \cos \theta = \frac{1}{3} \] با توجه به اینکه \(\theta\) در ربع اول دایره مثلثاتی قرار دارد، \(\sin \theta\) نیز مثبت خواهد بود. طبق رابطه‌ی اصلی مثلثاتی، داریم: \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] با جایگذاری مقدار \(\cos \theta\): \[ \sin^2 \theta + \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \theta + \frac{1}{9} = 1 \] \[ \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] بنابراین: \[ \sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] حال برای محاسبه‌ی گزینه‌ها داریم: الف) \(\cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta\) بنابراین: \(\cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) ب) \(\cos (\pi - \theta) = -\cos \theta\) به دلیل تقارن، این عبارت بر خلاف جهت محور \(x\) خواهد بود، اما از آنجا که می‌دانیم \(\cos (\pi - \theta)\) برابر است با \(-\frac{1}{3}\). پ) \(\sin \left( \frac{3\pi}{2} - \theta \right) = -\cos \theta\) که مقدار آن برابر \(-\frac{1}{3}\) است. ت) \(\cos(\theta - 2\pi) = \cos \theta\) از آنجا که کاهش یا افزایش یک دور کامل (۲π) به زاویه تغییری در مقدار کسینوس ایجاد نمی‌کند، مقدار آن برابر \(\frac{1}{3}\) است. بنابراین گزینه‌ی صحیح گزینه‌ی «الف» است؛ زیرا مقدار \(\cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) می‌باشد.