برای حل این مسئله مثلثاتی، ابتدا به سوال توجه می‌کنیم که کسینوس آلفا و سینوس بتا داده شده است و باید تانژانت آلفا منهای بتا را بدست آوریم. از فرمول‌های زیر استفاده می‌کنیم:
فرمول تانژانت تفاضل دو زاویه:
\[
\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}
\]
1. **محاسبه‌ی تانژانت آلفا (\(\tan \alpha\)):**
چون \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) و آلفا در ربع چهارم است، بنابراین:
\[
\sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = -\frac{1}{2}
\]
بنابراین:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
2. **محاسبه‌ی تانژانت بتا (\(\tan \beta\)):**
چون \( \sin \beta = -\frac{1}{2} \) و بتا در ربع سوم است، بنابراین:
\[
\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]
بنابراین:
\[
\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
3. **محاسبه‌ی \(\tan(\alpha - \beta)\):**
حالا که تانژانت آلفا و بتا را دارید:
\[
\tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{0}{1 + \frac{1}{3}} = 0
\]
پس تانژانت آلفا منهای بتا برابر صفر است.
