برای حل این سوال، ابتدا باید تابع \( f(x) = (x - 3)^3 + 1 \) را بررسی کنیم و سپس به معکوس آن بپردازیم.
1. **تابع \( f(x) \):**
- این تابع مکعبی است و برای یافتن ریشههای آن \( f(x) = 0 \) را حل میکنیم:
\[
(x - 3)^3 + 1 = 0 \implies (x - 3)^3 = -1 \implies x - 3 = -1 \implies x = 2
\]
بنابراین، تابع در \( x = 2 \) محور x را قطع میکند و به دلیل درجه سه، نمودار آن یک تغییر علامت دارد.
2. **معکوس تابع \( f(x) \):**
- برای یافتن معکوس، \( y = (x - 3)^3 + 1 \) را به دست میآوریم و \( x \) را بر حسب \( y \) بیان میکنیم:
\[
y - 1 = (x - 3)^3 \implies x - 3 = \sqrt[3]{y - 1} \implies x = \sqrt[3]{y - 1} + 3
\]
بنابراین معکوس \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1} + 3 \) خواهد بود.
3. **بررسی عبور نمودار معکوس از محورهای مختصات:**
- نمودار معکوس از محور y عبور میکند زمانی که \( x = 0 \):
\[
f^{-1}(0) = \sqrt[3]{0 - 1} + 3 = \sqrt[3]{-1} + 3 = -1 + 3 = 2
\]
بنابراین \( f^{-1}(x) \) از نقطه \( (0, 2) \) عبور میکند و نه از مبدا.
در نتیجه، معکوس از هیچکدام از محورهای مختصات عبور نمیکند و فقط از ناحیه چهارم عبور مینماید.
