برای اینکه عبارت \( P(x) = (m+1)x^2 - 4x + 2 \) به ازای تمامی مقادیر \( x \) همواره مثبت باشد، باید ریشههای معادله درجه دوم \( (m+1)x^2 - 4x + 2 = 0 \) موهومی باشند یا به عبارت دیگر، دلتا (مميز معادله) منفی باشد.
ابتدا دلتا را محاسبه میکنیم:
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
در این معادله داریم:
- \( a = m+1 \)
- \( b = -4 \)
- \( c = 2 \)
پس \(\Delta\) برابر است با:
\[
\Delta = (-4)^2 - 4(m+1)(2) = 16 - 8(m+1)
\]
برای اینکه معادله همواره مثبت باشد، باید \(\Delta < 0\) باشد:
\[
16 - 8(m+1) < 0
\]
حل این نابرابری:
\[
16 < 8(m+1)
\]
تقسیم طرفین بر 8:
\[
2 < m+1
\]
بنابراین:
\[
m > 1
\]
پس مقدار \( m \) باید بزرگتر از 1 باشد.
