برای حل این سوال، باید تابع نمایی را تحلیل کنیم. تابع مورد نظر به صورت زیر است:
\[ f(x) = a \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} + b \]
طبق نمودار، این تابع کاهشی بوده و به خطی افقی نزدیک میشود که معادله آن \( y = 0 \) است. بنابراین:
1. به دلیل نزدیکی تابع به محور \( x \) در سمت راست، \( y \)-مقداری نمیتواند مثبت باشد.
2. از طرفی \( f(x) = 0 \) میشود زمانیکه توان منفی یا خیلی بزرگ شود (به یاد داشته باشید که به این عنوان مقدار \( f(x) \) نزدیک به عدد \( b \) خواهد شد).
به صورت تشریحی:
- اگر \( f(0) \) را فرض کنیم برای هر \( x \)، یعنی زمانی که \( x \) نزدیک صفر میشود، داریم:
\[ f(0) = a \left(\frac{1}{2}\right) + b = 0 \]
که باعث میشود مقدار \( a \) متناسب با \( -b \) بوده و به این نتیجه میرسیم که چون تابع همواره نزدیک به محور \( x \) میشود، مقدار \( b \) میتواند صفر باشد.
نتیجهگیری:
برای اینکه \( f(x) \) مطابق نمودار باشد، باید \( a \) به نحوی انتخاب شود که مقدار \( b \) به صفر میل کند. این منجر به انتخاب عدد جلو روی خط محور میشود که احتمالا پاسخ \( -\frac{1}{2} \) (گزینه دوم) خواهد بود. با انتخاب مقادیر مذکور و باتوجه به مشخصات تابع دهنده که منطبق بر کاهش نامنظم است، توانمند خواهید بود که این مقدار را قدری آزمایش کنید.
