برای حل این مسئله، لازم است فرض کنیم که سه نفر سهم‌ها را به ترتیب افزایشی \( x \)، \( y \) و \( z \) دریافت می‌کنند به گونه‌ای که:
\[ z = xy \]
همچنین جمع آنها برابر با 100 است:
\[ x + y + z = 100 \]
و با توجه به شرایط مسئله:
\[ z = \frac{1}{3}(x + y) \]
حالا می‌توانیم این معادلات را حل کنیم. با توجه به شرط دوم به‌دست می‌آوریم:
\[ z = \frac{1}{3} \cdot (100 - z) \]
ساده‌سازی کنیم:
\[ 3z = 100 - z \]
\[ 4z = 100 \]
\[ z = 25 \]
حال مقدار \( x \) و \( y \) را با جایگذاری \( z \) به‌دست می‌آوریم:
از معادله‌ی کل:
\[ x + y + 25 = 100 \]
\[ x + y = 75 \]
و با توجه به رابطه‌ی \( z = xy \):
\[ xy = 25 \]
حال باید سیستم معادلات زیر را حل کنیم:
1. \( x + y = 75 \)
2. \( xy = 25 \)
از معادله‌ی اول داریم:
\( y = 75 - x \)
جایگذاری در معادله‌ی دوم:
\[ x(75 - x) = 25 \]
\[ 75x - x^2 = 25 \]
\[ x^2 - 75x + 25 = 0 \]
این معادله را حل میکنیم:
مقدار دلتا (د) برابر با:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 75^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 \]
\[ \Delta = 5625 - 100 = 5525 \]
برای حل معادله درجه دو:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{75 \pm \sqrt{5525}}{2} \]
حل کنید و به دو مقدار برای \( x \) برسید و به ترتیب \( y \) را نیز پیدا کنید. بنابراین مقادیر سهام هر نفر به‌دست می‌آید.
