برای حل این سوال، ابتدا به دو قسمت تابع و مشتق آن میپردازیم.
**الف) نشان دهید تابع در \( x = 1 \) مشتق پذیر نیست:**
برای بررسی مشتق پذیری تابع در \( x = 1 \)، باید پیوستگی تابع و مشتقپذیری آن را در این نقطه بررسی کنیم.
تابع به صورت قطعهای تعریف شده است:
- برای \( x \geq 1 \): \( f(x) = x^2 + 1 \)
- برای \( x < 1 \): \( f(x) = 4 - x^2 \)
تابع در نقطه \( x = 1 \):
\( f(1) = 1^2 + 1 = 2 \) و نیز \( f(1) = 4 - 1^2 = 3 \)
از آنجا که مقدارهای تابع در دو سمت نقطه \( x = 1 \) متفاوت است (یعنی پیوسته نیست)، تابع در این نقطه مشتقپذیر نیست.
**ب) دامنه تابع مشتق را بیابید:**
تابع مشتق برای هر قطعه از تابع اصلی:
- برای \( x \geq 1 \): مشتق \( f(x) = 2x \)
- برای \( x < 1 \): مشتق \( f(x) = -2x \)
دامنهی مشتق، تمام مقادیر \( x \) به جز نقطهای است که در آن تابع اصلی غیرپیوسته است، یعنی تمام \( x \) به جز \( x = 1 \).
**پ) ضابطه تابع مشتق را نوشته و آن را رسم کنید:**
- برای \( x > 1 \): \( f'(x) = 2x \)
- برای \( x < 1 \): \( f'(x) = -2x \)
تابع مشتق در \( x = 1 \) تعریف نشده است چون تابع در آن نقطه مشتقپذیر نیست.
برای رسم تابع مشتق، نمودار خطهای \( y = 2x \) و \( y = -2x \) را به ترتیب برای بازههای \( x > 1 \) و \( x < 1 \) در نظر بگیرید و توجه داشته باشید که نقطه \( x = 1 \) شامل نیست.
این توابع دارای شیب مثبت و منفی هستند که نقاط آنها به ترتیب در سمت راست و چپ محور \( x = 1 \) قرار دارند.
