برای حل این سوال، ابتدا به دو قسمت تابع و مشتق آن می‌پردازیم. **الف) نشان دهید تابع در \( x = 1 \) مشتق پذیر نیست:** برای بررسی مشتق پذیری تابع در \( x = 1 \)، باید پیوستگی تابع و مشتق‌پذیری آن را در این نقطه بررسی کنیم. تابع به صورت قطعه‌ای تعریف شده است: - برای \( x \geq 1 \): \( f(x) = x^2 + 1 \) - برای \( x < 1 \): \( f(x) = 4 - x^2 \) تابع در نقطه \( x = 1 \): \( f(1) = 1^2 + 1 = 2 \) و نیز \( f(1) = 4 - 1^2 = 3 \) از آنجا که مقدارهای تابع در دو سمت نقطه \( x = 1 \) متفاوت است (یعنی پیوسته نیست)، تابع در این نقطه مشتق‌پذیر نیست. **ب) دامنه تابع مشتق را بیابید:** تابع مشتق برای هر قطعه از تابع اصلی: - برای \( x \geq 1 \): مشتق \( f(x) = 2x \) - برای \( x < 1 \): مشتق \( f(x) = -2x \) دامنه‌ی مشتق، تمام مقادیر \( x \) به جز نقطه‌ای است که در آن تابع اصلی غیرپیوسته است، یعنی تمام \( x \) به جز \( x = 1 \). **پ) ضابطه تابع مشتق را نوشته و آن را رسم کنید:** - برای \( x > 1 \): \( f'(x) = 2x \) - برای \( x < 1 \): \( f'(x) = -2x \) تابع مشتق در \( x = 1 \) تعریف نشده است چون تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست. برای رسم تابع مشتق، نمودار خط‌های \( y = 2x \) و \( y = -2x \) را به ترتیب برای بازه‌های \( x > 1 \) و \( x < 1 \) در نظر بگیرید و توجه داشته باشید که نقطه \( x = 1 \) شامل نیست. این توابع دارای شیب مثبت و منفی هستند که نقاط آن‌ها به ترتیب در سمت راست و چپ محور \( x = 1 \) قرار دارند.