برای حل معادله \( \cos 2x = \cos x \) در بازه \([0, 2\pi]\)، ابتدا از هویتهای مثلثاتی استفاده میکنیم.
ما میدانیم که:
\[
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1
\]
بنابراین، معادله به صورت زیر درمیآید:
\[
2\cos^2 x - 1 = \cos x
\]
که میتوان آن را به شکل یک معادله درجه دوم در \(\cos x\) نوشت:
\[
2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0
\]
این معادله را میتوانیم با روشهای معمول حل معادلات درجه دوم حل کنیم:
فرض کنیم \(\cos x = y\)، بنابراین:
\[
2y^2 - y - 1 = 0
\]
برای حل این معادله از فرمول ریشههای معادله درجه دوم استفاده میکنیم:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
که در اینجا \(a = 2\)، \(b = -1\) و \(c = -1\) هستند.
\[
y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}
\]
ریشهها به صورت زیر محاسبه میشوند:
1. \(y = \frac{4}{4} = 1\)
2. \(y = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)
پس \(\cos x = 1\) و \(\cos x = -\frac{1}{2}\).
1. برای \(\cos x = 1\)، \(x = 0\).
2. برای \(\cos x = -\frac{1}{2}\)، \(x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\).
بنابراین در بازه \([0, 2\pi]\)، این معادلات برای \(x\) یافت میشوند:
- \(x = 0\)
- \(x = \frac{2\pi}{3}\)
- \(x = \frac{4\pi}{3}\)
و از طرفی، به علت تقارن در تابعهای مثلثاتی و بازه \([0, 2\pi]\)، هر جایگزینی میتواند دوباره محاسبه شود. در نهایت خواهیم داشت:
- 3 تبدیل اضافه از \((2\pi, 0]\)
در کل 5 جواب خواهد بود.
بنابراین، گزینه (3) یعنی 6 جواب صحیح است.
