برای حل معادله \( \cos 2x = \cos x \) در بازه \([0, 2\pi]\)، ابتدا از هویت‌های مثلثاتی استفاده می‌کنیم. ما می‌دانیم که: \[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \] بنابراین، معادله به صورت زیر درمی‌آید: \[ 2\cos^2 x - 1 = \cos x \] که می‌توان آن را به شکل یک معادله درجه دوم در \(\cos x\) نوشت: \[ 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \] این معادله را می‌توانیم با روش‌های معمول حل معادلات درجه دوم حل کنیم: فرض کنیم \(\cos x = y\)، بنابراین: \[ 2y^2 - y - 1 = 0 \] برای حل این معادله از فرمول ریشه‌های معادله درجه دوم استفاده می‌کنیم: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] که در اینجا \(a = 2\)، \(b = -1\) و \(c = -1\) هستند. \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \] ریشه‌ها به صورت زیر محاسبه می‌شوند: 1. \(y = \frac{4}{4} = 1\) 2. \(y = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\) پس \(\cos x = 1\) و \(\cos x = -\frac{1}{2}\). 1. برای \(\cos x = 1\)، \(x = 0\). 2. برای \(\cos x = -\frac{1}{2}\)، \(x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\). بنابراین در بازه \([0, 2\pi]\)، این معادلات برای \(x\) یافت می‌شوند: - \(x = 0\) - \(x = \frac{2\pi}{3}\) - \(x = \frac{4\pi}{3}\) و از طرفی، به علت تقارن در تابع‌های مثلثاتی و بازه \([0, 2\pi]\)، هر جایگزینی می‌تواند دوباره محاسبه شود. در نهایت خواهیم داشت: - 3 تبدیل اضافه از \((2\pi, 0]\) در کل 5 جواب خواهد بود. بنابراین، گزینه (3) یعنی 6 جواب صحیح است.

.....

۴ تا جواب داره