در این سوال، میخواهیم زاویهای در ربع دوم که سینوس آن برابر \(\frac{5}{13}\) باشد را به دست آوریم. از طرفی میدانیم که در ربع دوم، سینوس زاویهها مثبت است و کسینوس زاویهها منفی است.
حال، برای پیدا کردن زاویه ابتدا به رابطهی مثلثاتی زیر توجه میکنیم:
\[ \sin \theta = \frac{5}{13} \]
از رابطه \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) استفاده میکنیم:
\[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1 \]
\[ \frac{25}{169} + \cos^2 \theta = 1 \]
\[ \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{169} \]
\[ \cos^2 \theta = \frac{144}{169} \]
از آنجا که در ربع دوم قرار داریم و کسینوس زاویه باید منفی باشد:
\[ \cos \theta = -\frac{\sqrt{144}}{13} = -\frac{12}{13} \]
تا اینجا کسینوس و سینوس زاویه را به دست آوردیم.
برای یافتن مقدار زاویه \(\theta\) با توجه به \(\sin \theta = \frac{5}{13}\) و اینکه باید در ربع دوم باشد، زاویه مرجع \(\theta_1\) را پیدا میکنیم:
\[ \theta_1 = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) \]
که از جدول مثلثاتی یا ماشینحساب قابل محاسبه است.
سپس \(\theta\) در ربع دوم به صورت زیر محاسبه میشود:
\[ \theta = 180^\circ - \theta_1 \]
این زاویه \(\theta\) (در ربع دوم) مورد نظر ماست.
