برای تعیین صعودی یا نزولی بودن توابع، باید مشتق هر تابع را محاسبه کرده و علامت آن را بررسی کنیم.
۱. \( f(x) = |x| \)
مشتق تابع قدر مطلق در نقاط مختلف عبارت است از:
- اگر \( x > 0 \)، \( f'(x) = 1 \)
- اگر \( x < 0 \)، \( f'(x) = -1 \)
- اگر \( x = 0 \)، مشتق تعریف نشده است.
بنابراین \( f(x) \) برای \( x > 0 \) صعودی و برای \( x < 0 \) نزولی است.
۲. \( g(x) = 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 \)
مشتق این تابع:
\[
g'(x) = 2 + 6x + 12x^2 + 20x^3
\]
علامت مشتق باید بررسی شود.
- اگر \( g'(x) > 0 \)، تابع صعودی است.
- اگر \( g'(x) < 0 \)، تابع نزولی است.
برای تحلیل بیشتر، میتوانید نقاط بحرانی و نقاط صفر \( g'(x) \) را پیدا کرده و بر اساس آنها تصمیمگیری کنید. اما عمومًا برای \( x \)های بزرگتر، به دلیل پیشتاز بودن درجه بالا، تابع صعودی خواهد بود.
در نهایت با تحلیل دقیقتر ممکن است در برخی بازهها تابع رفتاری متفاوت داشته باشد.
