لطفاً حل کنید

برای حل این سوال، ابتدا باید درک کنیم که توان مصرفی در هر رسانا به صورت \( P = VI \cos \theta \) محاسبه می‌شود، که در آن \( \theta \) زاویه بین ولتاژ و جریان است و \( \cos \theta \) بخش فعال توان است. نمودار داده شده، یک نمودار \( I-V \) است و زاویه \( \theta \) برای هر رسانا نسبت به محور ولتاژ مشخص شده است. طبق شکل، زاویه رسانای \( A \) برابر \( \theta \) و زاویه رسانای \( B \) برابر \( 2\theta \) است. بنابراین برای رسانای A، توان مصرفی به صورت زیر است: \[ P_A = VI \cos \theta \] و برای رسانای B: \[ P_B = VI \cos (2\theta) \] اکنون، با استفاده از فرمول مثلثاتی داریم: \[ \cos (2\theta) = 2\cos^2 (\theta) - 1 \] برای پیدا کردن چند برابر بودن توان مصرفی رسانای \( A \) نسبت به \( B \)، نسبت \( \frac{P_A}{P_B} \) را محاسبه می‌کنیم: \[ \frac{P_A}{P_B} = \frac{VI \cos \theta}{VI \cos (2\theta)} = \frac{\cos \theta}{2\cos^2 \theta - 1} \] اگر \( \cos \theta = x \) باشد، داریم: \[ \frac{x}{2x^2 - 1} \] با فرض \( \theta = 30^\circ \) برای ساده‌سازی: \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \] پس: \[ \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \] بنابراین، توان A سه برابر توان B است و پاسخ گزینه ۲ می‌باشد.