برای حل این مسئله، ابتدا به گامهای حل معادله توجه میکنیم.
معادله داده شده:
\[ x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = 27 \]
مراحل حل آن به شکل زیر است:
1. ابتدا عبارات موجود را ساده میکنیم:
- فرض کنیم \( y = x + \frac{1}{x} \).
2. با فرض بالا، معادله به شکل زیر درمیآید:
\[ x^3 + \frac{1}{x^3} + 3y = 27 \]
3. میدانیم که:
\[ x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) \]
4. با جایگزینی \( y \) در رابطه:
\[ x^3 + \frac{1}{x^3} = y^3 - 3y \]
5. حال معادله اصلی را بازنویسی میکنیم:
- \( y^3 - 3y + 3y = 27 \)
- \( y^3 = 27 \)
6. از اینجا به \( y \) خواهیم رسید:
- \( y = 3 \)
7. بنابراین، \( x + \frac{1}{x} = 3 \).
با این روش، معادله را مرحله به مرحله سادهسازی کردیم و به نتیجه رسیدیم.
