جواب رو اگه بلدین بلدین

به سوالات مختلفی بپردازیم: **سوال (الف):** اثبات کنید: \[ \sin^4 \theta - \cos^4 \theta = 1 - 2\cos^2 \theta \] این رابطه را می‌توان با استفاده از اتحاد هم‌ساز به صورت زیر نشان داد: \[ \sin^4 \theta - \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) \] از اتحاد مثلثاتی \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) استفاده می‌کنیم: \[ = 1 \cdot (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \] حال اگر \( \cos^2 \theta = x\) داشته باشیم، می‌توانیم بنویسیم: \[ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - x \] بنابراین: \[ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = (1 - x) - x = 1 - 2x \] که \(x = \cos^2 \theta\) بود، پس: \[ \sin^4 \theta - \cos^4 \theta = 1 - 2\cos^2 \theta \] **سوال (ب):** عبارت: \[ A = \frac{3 \sin 60 - 3 \cos 30 + 2 \sin 45 + \tan^2 60}{\sin^2 90} \] ابتدا مقادیر مثلثاتی را محاسبه می‌کنیم: \[ \sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 30 = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45 = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan 60 = \sqrt{3}, \quad \sin 90 = 1 \] حالا عبارت \(A\) را محاسبه می‌کنیم: \[ A = \frac{3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + (\sqrt{3})^2}{1} \] \[ = \frac{0 + \sqrt{2} + 3}{1} = 3 + \sqrt{2} \] **سوال (ج):** مساحت مثلث ABC: با توجه به زوایای داده شده، مثلث متساوی‌الساقین با زاویه ۷۵ درجه در رأس و دو ضلع برابر ۵ داریم. می‌توانیم مساحت را با استفاده از فرمول مساحت مثلث در حالت زاویه بین دو ضلع بیابیم: \[ \text{مساحت} = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin A \] که \(b = c = 5\) و \(\sin 75 = \sin(90 - 15) = \cos 15\). \[ \text{مساحت} = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 \times \sin 75 \] \[ = \frac{25}{2} \times \sin 75 \] \(\sin 75\) را به صورت تقریبی \(0.9659\) در نظر می‌گیریم: \[ \text{مساحت} \approx \frac{25}{2} \times 0.9659 \approx 12.074 \] **سوال (د):** فاصله پایه نردبان از دیوار با شیب ۳۰ درجه و طول ۱۰ متر: \[ \cos 30 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] دیوار: \(x = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66\) بنابراین، فاصله پایه نردبان تا دیوار تقریباً \(8.66\) متر است.