حل کنید توروخدا

برای پاسخ به این سوال، باید نقاط برخورد دو تابع \( g(x) = 3 - x \) و \( f(x) = \sqrt{a - x} \) را بیابیم. برای این کار، باید معادله زیر را حل کنیم: \[ 3 - x = \sqrt{a - x} \] برای برطرف کردن رادیکال، طرفین معادله را به توان دو می‌رسانیم: \[ (3 - x)^2 = a - x \] که بسط داده می‌شود به: \[ 9 - 6x + x^2 = a - x \] با جابه‌جا کردن عبارت‌ها، معادله به شکل زیر درمی‌آید: \[ x^2 - 5x + 9 = a \] این یک معادله درجه دو است. برای اینکه این دو تابع روی محور \( x \) نقاط مشترک داشته باشند، این معادله باید حداقل یک جواب داشته باشد. بنابراین، دلتا (Δ) این معادله باید غیرمنفی باشد: \[ Δ = b^2 - 4ac \] برای معادله \( x^2 - 5x + (9 - a) = 0 \) داریم: \[ b = -5, \quad a = 1, \quad c = 9 - a \] ابتدا دلتا را حساب می‌کنیم: \[ Δ = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (9 - a) \] \[ Δ = 25 - 36 + 4a \] \[ Δ = 4a - 11 \] برای داشتن حداقل یک جواب واقعی: \[ 4a - 11 \geq 0 \] بنابراین: \[ 4a \geq 11 \] \[ a \geq \frac{11}{4} = 2.75 \] پس کوچکترین مقداری که \( a \) می‌تواند داشته باشد تا دو تابع روی محور \( x \) نقاط مشترک داشته باشند، \( a = 2.75 \) است. پاسخ درست: گزینه 3 (۲٫۷۵).