برای بررسی یک به یک بودن توابع، باید نشان دهیم که اگر \( f(x_1) = f(x_2) \) باشد، حتماً \( x_1 = x_2 \) خواهد بود.
1. تابع \( f(x) = \sqrt{x} \)
فرض کنید \( \sqrt{x_1} = \sqrt{x_2} \). با توان دوم گرفتن دو طرف رابطه داریم:
\[ x_1 = x_2 \]
پس تابع یک به یک است.
2. تابع \( f(x) = |x| \)
فرض کنید \( |x_1| = |x_2| \). این به این معنی است که:
\[ x_1 = x_2 \quad \text{یا} \quad x_1 = -x_2 \]
پس تابع یک به یک نیست، چون ممکن است \( x_1 \neq x_2 \) و همچنان مقدار تابع برابر باشد.
3. تابع \( f(x) = \frac{x-1}{x+1} \)
فرض کنید \( \frac{x_1-1}{x_1+1} = \frac{x_2-1}{x_2+1} \). با ضرب طرفین در \( (x_1+1)(x_2+1) \) داریم:
\[ (x_1-1)(x_2+1) = (x_2-1)(x_1+1) \]
با بسط طرفین:
\[ x_1x_2 + x_1 - x_2 - 1 = x_2x_1 + x_2 - x_1 - 1 \]
با سادهسازی:
\[ 2x_1 = 2x_2 \]
بنابراین:
\[ x_1 = x_2 \]
پس تابع یک به یک است.
بنابراین، توابع 1 و 3 یک به یک هستند، در حالی که تابع 2 یک به یک نیست.
