سلام در صورت امکان حل کنید ممنون میشم

برای حل این مسئله، ابتدا باید ببینیم که چندجمله‌ای \( P(x) = x^3 + ax^2 + b \) بر \( x-1 \) و \( x+2 \) بخش‌پذیر است. طبق قضیه باقی‌مانده، اگر \( P(x) \) بر این دو بخش‌پذیر باشد، مقادیر زیر باید درست باشند: 1. \( P(1) = 0 \) 2. \( P(-2) = 0 \) حال به ترتیب جایگذاری می‌کنیم: 1. برای \( P(1) = 0 \): \[ 1^3 + a \cdot 1^2 + b = 0 \Rightarrow 1 + a + b = 0 \] \[ a + b = -1 \quad \text{(معادله 1)} \] 2. برای \( P(-2) = 0 \): \[ (-2)^3 + a \cdot (-2)^2 + b = 0 \Rightarrow -8 + 4a + b = 0 \] \[ 4a + b = 8 \quad \text{(معادله 2)} \] حال دو معادله داریم: 1. \( a + b = -1 \) 2. \( 4a + b = 8 \) برای یافتن \( a \) و \( b \)، این دستگاه معادلات خطی را حل می‌کنیم: ابتدا از معادله اول، \( b \) را به دست می‌آوریم: \[ b = -1 - a \] این مقدار \( b \) را در معادله دوم جایگذاری می‌کنیم: \[ 4a + (-1 - a) = 8 \] \[ 4a - 1 - a = 8 \] \[ 3a - 1 = 8 \] \[ 3a = 9 \] \[ a = 3 \] اکنون \( a = 3 \) را در معادله \( b = -1 - a \) قرار می‌دهیم: \[ b = -1 - 3 \] \[ b = -4 \] پس مقادیر \( a \) و \( b \) برابر هستند با: \[ a = 3, \quad b = -4 \]