برای حل این سوال باید حد عبارت \(\lim_{n \to \infty} \frac{f_n}{n^3 + an + b}\) را بررسی کنیم و ببینیم چگونه به عدد مشخصی میل میکند. با توجه به سوال، قرار است این حد برابر \(\frac{7}{8}\) شود.
فرض کنید:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{f_n}{n^3 + an + b} = \frac{7}{8}
\]
این نشان میدهد که وقتی \(n\) به بینهایت میل میکند، صورت و مخرج کسر باید به نحوی میل کنند که نتیجه به \(\frac{7}{8}\) برسد. برای سادهسازی، صورت \(f_n\) را میتوانیم به صورت زیر فرض کنیم تا رفتار حد را در نظر بگیریم:
فرض کنیم \(f_n\) مشابه با \(n^3\) در رفتار بزرگشدنی باشد (چون درجه بزرگترین چندجملهای موجود است):
\[
f_n = 7n^3 + \text{عبارتی کمتر درجه}
\]
در این صورت، حد زیر حاصل میشود:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{7n^3 + \text{عبارتی کمتر درجه}}{n^3 + an + b}
\]
پس همانطور که \(n\) به بینهایت میل میکند، تاثیر \(an\) و \(b\) کمتر و کمتر میشود و بنابراین:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{7n^3}{n^3} = \frac{7}{8}
\]
بر همین اساس، مقدار نهایی که \(\frac{7}{8}\) خواهد شد باید از ضرایب هم درجه در صورت و مخرج بدست آید. لذا \(\frac{7}{8}\) نسبت ضرایب بیشترین درجه خواهد بود و \(f_n\) باید به گونهای انتخاب شود که با بزرگ شدن \(n\)، دقیقاً رفتار مثل \(7n^3\) در صورت داشته باشد تا این حد محقق گردد.
در نتیجه، جواب نهایی رابطه ضرایب است که باید سهم \(n^3\) را در نظر بگیریم.
