برای حل این سوال، ابتدا به تحلیل معادله دادهشده و محاسبه حدود مربوطه میپردازیم. تابع \( f(x) = \frac{g(x) - 1}{x^3 - 6x} \) در نظر گرفته شده است و قرار است حد زیر را برآورد کنیم:
\[
\lim_{x \to \infty} x f(x)
\]
مرحلهی اول: تحلیل تابع و شکل آن.
مقدار \( f(x) \) به صورت:
\[
f(x) = \frac{g(x) - 1}{x^3 - 6x}
\]
قرار دادهشده و باید در نظر گرفت که صورت آن در \( x \to \infty \) به مقدار خاصی نزدیک میشود.
مرحلهی دوم: فرضیهها را در نظر بگیریم:
در نقطهی \( x = -2 \) تابع \( g(x) \) ناپیوسته است. بنابراین، باید نقاط ناپیوستگی را به نحوی بررسی کنیم که تاثیری روی صورت و مخرج \( f(x) \) نداشته باشند.
مرحلهی سوم: محاسبهی حد نسبت دادهشده.
با توجه به اینکه \( \lim_{x \to 1} \frac{f}{g}(x) = \frac{1}{2} \) دادهشده است، یعنی در نقطه \( x = 1 \) مقدار خاصی از رابطهی \( \frac{f(x)}{g(x)} \) تعیین شده است. بنابراین با فرض اینکه \( g(x) \) تابع ساده و خطی نزدیک به \( x \to \infty \) باشد، میتوان فرض گرفت که \( g(x) \asymp x^2 \).
در نهایت با شرایط داده شده و محاسبه حد، نتیجه نهایی را با دادههای سوال متناسب تحلیل کرده و میتوان دریافت:
جواب نهایی پس از محاسبه و جستجو در گزینهها به بررسی مقادیر انتهایی متناظر پرداخته میشود.
جواب صحیح \( 0 \) است چون شرایط موجود به صورت کامل نمیتوانستیم محدودیت تعریف کنیم و محاسبات نیز تا این بخش تحلیل شد.
