برای حل این سوال، مقدار \(\sin(x) \cos(x) \cos(2x)\) برای \(x = \frac{7\pi}{5}\) را محاسبه میکنیم.
ابتدا، از هویتهای مثلثاتی استفاده میکنیم:
\[
\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1
\]
گام به گام ادامه میدهیم:
1. مقدار \(\cos\left(\frac{14\pi}{5}\right)\) و \(\sin\left(\frac{14\pi}{5}\right)\) را پیدا میکنیم. \(\frac{14\pi}{5}\) معادل \(2\pi + \frac{4\pi}{5}\) است، یعنی در دایره مثلثاتی همارز با \(\frac{4\pi}{5}\).
2. محاسبه میکنیم \(\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\) و \(\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)\):
- زاویه \(\frac{4\pi}{5}\) در ربع دوم قرار دارد، بنابراین:
\[
\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) = -\cos\left(\pi - \frac{4\pi}{5}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)
\]
\[
\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) = \sin\left(\pi - \frac{4\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{5}\right)
\]
3. حالا \(\cos\left(\frac{2 \cdot 7\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{14\pi}{5}\right)\) را حساب میکنیم. به کمک هویت:
\[
\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) \approx -0.309 \quad \text{(حدوداً با ماشینحساب)}
\]
4. سپس، مقدار \(\sin(x)\) و \(\cos(x)\) را پیدا کرده و \(\sin(x) \cos(x) \cos(2x)\) را محاسبه میکنیم.
بنابراین با جایگذاری همه این مقادیر:
\[
4\sin(x) \cos(x) \cos(2x) = 4\left(\sin\left(\frac{7\pi}{5}\right)\right) \left(\cos\left(\frac{7\pi}{5}\right)\right)\times \left(2\left(\cos\left(\frac{7\pi}{5}\right)\right)^2 - 1\right)
\]
با استفاده از مقادیر \(\sin\) و \(\cos\) در زاویه معادل، سادهسازی میشود و میتوانید مشاهده کنید که نتیجه به کدام گزینه نزدیکتر است.
