برای پاسخ به این سوال، ابتدا لازم است که به توضیح عناوین و تعریفات مربوط بپردازیم و سپس راهحل را بیان کنیم.
### تعریفات و شکل:
- دایره \(C(O, R)\) دایرهای است که مرکز آن در نقطه \(O\) و شعاع آن \(R\) است.
- نقطه \(A\) درون دایره قرار دارد.
شکل زیر را تصور کنید:
```
O (مرکز دایره)
*
|
| | | \ OA (خطی از O به A)
| | *-----* (نقطه B روی دایره)
```
### فرضیات:
به فرض، نقطه \(B\) نقطهای است که در دایره \(C\) روی محیط آن قرار دارد و ما میخواهیم مسیر \(AB\) را به گونهای پیدا کنیم که کوتاهترین فاصله را از نقطه \(A\) به محیط دایره داشته باشد.
### اثبات:
1. **طول مسیر**: فاصله \(AB\) را میتوان با استفاده از قانون فیثاغورث محاسبه کرد. اگر زاویه \( \theta \) زاویهای باشد که خط \(OA\) و خط \(OB\) میسازند، طول \(AB\) را میتوان با توجه به مثلث \(OAB\) به صورت زیر نوشت:
\[
AB = \sqrt{OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\theta)}
\]
2. **شرط عمود بودن**: برای اینکه خط \(AB\) کوتاهترین مسیر باشد، باید زاویه \( \theta\) به نحوی تنظیم شود که خط \(AB\) بر \(OA\) عمود باشد. زمانی که زاویه \( \theta = 90^{\circ}\) است، طول مسیر \(AB\) به حداقل میرسد.
3. **تحلیل هندسی**: در هندسه Euclidean، اگر خطی از نقطهای خارج از یک منحنی رسم شود و به آن منحنی عمود باشد، کوتاهترین فاصله به نقطهی تماس عمود میباشد. بنابراین اگر خط \(OA\) و خط \(OB\) عمود باشند، مسیر \(AB\) کوتاهترین خواهد بود.
4. **نتیجهگیری**: پس نشان میدهیم که کوتاهترین خطی که از نقطه \(A\) درون دایره به محیط دایره میرسد، خطی است که بر خط \(OA\) عمود میباشد.
با این توضیحات، نتیجه میگیریم که کوتاهترین وتری که در دایره \(C(O, R)\) از نقطه \(A\) درون دایره میگذرد، خطی است که بر خط \(OA\) عمود باشد.
