برای حل این مسئله ابتدا باید مساحت هاشور خورده را که یک قطعه دایره است محاسبه کنیم.
1. ابتدا شعاع دایره را محاسبه میکنیم:
داده شده که \( \overline{AB} = 10 \) و زاویه \( \overarc{AB} = 60° \) است.
چون مثلث \( OAB \) متساویالاضلاع است (با توجه به اینکه دایره و زاویه مرکزی داده شده)، شعاع یعنی \( \overline{OA} = \overline{OB} = \overline{AB} = 10 \).
2. مساحت مثلث \( OAB \):
مساحت مثلث متساویالاضلاع با طول ضلع \( s \) برابر است با:
\[
\text{Area}_{\triangle OAB} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (10)^2 = 25\sqrt{3}
\]
3. مساحت قطعه دایره:
مساحت قطاع دایره با زاویه مرکزی \( \theta \) (بر حسب رادیان)، و شعاع \( r \):
\[
\text{Area}_{\text{Sector}} = \frac{1}{2} r^2 \theta
\]
از آنجا که \( 60° = \frac{\pi}{3} \) رادیان است:
\[
\text{Area}_{\text{Sector}} = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{100\pi}{6} = \frac{50\pi}{3}
\]
4. مساحت قطعه هاشورخورده:
حالا اختلاف مساحت قطاع و مساحت مثلث به ما مساحت قسمت هاشور خورده را میدهد:
\[
\text{Area}_{\text{Shaded}} = \text{Area}_{\text{Sector}} - \text{Area}_{\triangle OAB} = \frac{50\pi}{3} - 25\sqrt{3}
\]
پس پاسخ صحیح گزینه 1 است: \(\frac{25\pi}{3} - 25\sqrt{3}\).
