برای حل معادله داده شده یعنی:
\[
\tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha
\]
به صورت زیر عمل میکنیم:
1. رابطه \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) را جایگزین کنیم:
\[
\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]
2. معادله را جایگزین کرده و سادهسازی کنیم:
\[
\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha
\]
3. کل معادله را در \(\cos^2 \alpha\) ضرب کنیم تا از مخرج کسر رهایی یابیم:
\[
\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^4 \alpha
\]
4. اگر \(\sin^2 \alpha \neq 0\)، میتوانیم طرفین معادله را بر \(\sin^2 \alpha\) تقسیم کنیم:
\[
1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha
\]
5. اما ما به رابطهای رسیدیم که نشان میدهد \(\sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha\)، که بدیهی است. بنابراین تمام \(\alpha\)هایی که به شرط \(\sin^2 \alpha \neq 0\) صدق کنند، جواب خواهند بود.
در نتیجه، این معادله در دامنه تعریف \(\tan \alpha\) و با شرط \(\sin \alpha \neq 0\) همیشه درست است.
