برای اثبات \( CN = DN \) در مربع \( ABCD \) که \( N \) وسط ضلع \( AB \) است، میتوانیم به روش زیر عمل کنیم:
1. **تعاریف اولیه:**
چون \( ABCD \) مربع است، تمام اضلاع آن برابر هستند. فرض کنیم طول هر ضلع مربع \( a \) باشد.
2. **مختصات نقاط:**
- اگر نقطه \( A \) را در مختصات \((0, 0)\) قرار دهیم، نقاط دیگر به صورت زیر خواهند بود:
- \( B(a, 0) \)
- \( C(0, a) \)
- \( D(a, a) \)
- نقطه \( N \) که وسط \( AB \) است، مختصات \((\frac{a}{2}, 0)\) خواهد داشت.
3. **محاسبه اندازه \( CN \) و \( DN \):**
- طول \( CN \) با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه:
\[
CN = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}a}{2}
\]
- طول \( DN \):
\[
DN = \sqrt{(\frac{a}{2} - a)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \frac{\sqrt{5}a}{2}
\]
4. **نتیجهگیری:**
همانطور که مشاهده میکنید، \( CN = DN = \frac{\sqrt{5}a}{2} \) و این نشان میدهد که \( CN \) و \( DN \) برابرند.
بنابراین، اثبات کردیم که \( CN = DN \) است.
