اگر محیط مستطیلی ۸ باشد ابعاد مستطیل را طوری بیابید که مساحت بیشترین مقدار را داشته باشد ؟

برای حل این سوال، فرض می‌کنیم ابعاد مستطیل را با \( l \) (طول) و \( w \) (عرض) نشان دهیم. طبق داده‌ سوال: 1. محیط مستطیل برابر با ۸ است: \[ 2l + 2w = 8 \implies l + w = 4 \] 2. مساحت مستطیل \( A \) برابر با حاصل‌ضرب طول و عرض است: \[ A = l \cdot w \] 3. با استفاده از رابطه‌ی محیط، می‌توانیم یکی از متغیرها را به عنوان تابعی از دیگری بیان کنیم. فرض می‌کنیم که \( w = 4 - l \) باشد. حالا می‌توانیم مساحت را به صورت تابعی از \( l \) بنویسیم: \[ A = l \cdot w = l \cdot (4 - l) = 4l - l^2 \] 4. برای پیدا کردن بیشترین مقدار مساحت، از مشتق استفاده می‌کنیم. ابتدا مشتق \( A \) را حساب می‌کنیم: \[ A' = 4 - 2l \] 5. حالا مشتق را برابر با صفر قرار می‌دهیم تا نقاط بحرانی را پیدا کنیم: \[ 4 - 2l = 0 \implies 2l = 4 \implies l = 2 \] 6. حالا مقدار \( w \) را با استفاده از \( l \) محاسبه می‌کنیم: \[ w = 4 - l = 4 - 2 = 2 \] بنابراین ابعاد مستطیل به گونه‌ای است که طول \( 2 \) و عرض \( 2 \) است. این نشان می‌دهد که برای بیشینه کردن مساحت مستطیل با محیط ثابت، باید ابعاد آن برابر باشد. در نتیجه، ابعاد مستطیل \( 2 \) و \( 2 \) است که مساحت بیشینه \( 4 \) را خواهد داشت.