برای حل این سوال، ابتدا باید بررسی کنیم که چطور میتوانیم بیشترین مساحت یک مثلث قائم الزاویه را که وتر آن به طول ۳ است، بدست آوریم.
فرض کنید که دو ضلع قائم مثلث را به طول \( a \) و \( b \) در نظر بگیریم. طبق قضیهی فیثاغورث، داریم:
\[
a^2 + b^2 = 3^2 = 9
\]
حالا مساحت مثلث قائم الزاویه با استفاده از دو ضلع قائم محاسبه میشود:
\[
\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times a \times b
\]
برای ماکزیمم کردن مساحت، میتوانیم از \( b \) به عنوان تابعی از \( a \) استفاده کنیم. از معادلهی داخل رابطه فیثاغورث، میتوانیم بنویسیم:
\[
b = \sqrt{9 - a^2}
\]
پس مساحت به شکل زیر در میآید:
\[
\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{9 - a^2}
\]
برای پیدا کردن حداکثر مقدار این تابع، میتوانیم مشتق اول را محاسبه کنیم و آن را برابر صفر قرار دهیم:
\[
\frac{d}{da} \left( \frac{1}{2} a \sqrt{9 - a^2} \right) = 0
\]
برای محاسبه مشتق، از قاعده ضرب و زنجیره استفاده میکنیم:
\[
\frac{d}{da} (a \sqrt{9 - a^2}) = \sqrt{9 - a^2} + a \cdot \frac{d}{da} (\sqrt{9 - a^2})
\]
\[
= \sqrt{9 - a^2} - \frac{a^2}{\sqrt{9 - a^2}}
\]
بنابراین، داریم:
\[
\sqrt{9 - a^2} - \frac{a^2}{\sqrt{9 - a^2}} = 0
\]
از اینجا خواهیم داشت:
\[
\sqrt{9 - a^2} = \frac{a^2}{\sqrt{9 - a^2}}
\]
با ضرب دو طرف در \( \sqrt{9 - a^2} \) به دست میآوریم:
\[
(9 - a^2) = a^2 \implies 9 = 2a^2 \implies a^2 = \frac{9}{2} \implies a = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
\]
حال برای محاسبه \( b \):
\[
b = \sqrt{9 - a^2} = \sqrt{9 - \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
\]
حالا مساحت مثلث را محاسبه میکنیم:
\[
\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{9 \cdot 2}{4} = \frac{9}{4}
\]
بنابراین، بیشترین مساحت مربوط به مثلث قائم الزاویهای که وتر آن ۳ است، برابر با \( \frac{9}{4} \) واحد مربع است.
