برای حل این سؤال، ابتدا باید عبارت مثلثاتی داده شده را با توجه به \( \tan(\alpha) \) ساده کنیم. فرض کنید:
\[
\tan(\alpha) = \frac{3}{4}
\]
بنابراین، میتوانیم مثلث قائمالزاویهای را در نظر بگیریم که در آن:
- ضلع مقابل به زاویه \( \alpha \) برابر 3 باشد.
- ضلع مجاور به زاویه \( \alpha \) برابر 4 باشد.
طبق رابطههای مثلثاتی، داریم:
\[
\sin(\alpha) = \frac{3}{5}
\]
\[
\cos(\alpha) = \frac{4}{5}
\]
اکنون عبارت اصلی را محاسبه کنیم:
\[
\frac{2\sin(\alpha) + \cos(\alpha)}{\sin(\alpha) - 4\cos(\alpha)}
\]
صورت عبارت را محاسبه کنیم:
\[
2\sin(\alpha) + \cos(\alpha) = 2 \times \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{6}{5} + \frac{4}{5} = \frac{10}{5} = 2
\]
مخرج عبارت:
\[
\sin(\alpha) - 4\cos(\alpha) = \frac{3}{5} - 4 \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5} - \frac{16}{5} = \frac{3 - 16}{5} = \frac{-13}{5}
\]
اکنون کل عبارت را محاسبه کنیم:
\[
\frac{2}{\frac{-13}{5}} = 2 \times \frac{5}{-13} = \frac{10}{-13} = -\frac{10}{13}
\]
پس جواب نهایی \( -\frac{10}{13} \) است.
