برای حل نامعادله:
\[
\frac{x^2 - 1}{x - 1} \leq \sqrt{x}
\]
ابتدا صورت کسر را تجزیه میکنیم:
\[
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
\]
پس کسر به شکل زیر ساده میشود:
\[
\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}
\]
و برای \(x \neq 1\) به صورت زیر ساده میشود:
\[
x + 1
\]
نامعادله به صورت زیر در میآید:
\[
x + 1 \leq \sqrt{x}
\]
برای حل این نامعادله، هر دو طرف را به توان دو میرسانیم تا رادیکال حذف شود:
\[
(x + 1)^2 \leq x
\]
باز کردن داخل پرانتز:
\[
x^2 + 2x + 1 \leq x
\]
انتقال همه عبارات به یک طرف:
\[
x^2 + 2x + 1 - x \leq 0
\]
که بهصورت زیر ساده میشود:
\[
x^2 + x + 1 \leq 0
\]
برای پیدا کردن مقادیر x که این نامعادله را رضایت کنند، باید \(\Delta = b^2 - 4ac\) را برای \(ax^2 + bx + c\) محاسبه کنیم:
\[
\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3
\]
چون \(\Delta < 0\)، هیچ ریشهای برای معادله \(x^2 + x + 1 = 0\) وجود ندارد و لذا نامعادله در محدودۀ حقیقی قابل حل نیست.
اما توجه داشته باشید که ما قبلاً فرض کردیم \(x \neq 1\) و به همین دلیل باید عدد ۱ را از جوابها حذف کنیم.
در نتیجه، جوابها در دامنه حقیقی صدق نمیکنند و تحت شرایط داده شده کسر تعریف شده نیست. بنابراین نتیجه این است که هیچ مقداری برای \(x\) وجود ندارد که نامعادله را رضایت کند.
