برای اثبات اینکه در مستطیل قطرها همدیگر را نصف میکنند، به صورت زیر عمل میکنیم:
فرض کنید \( ABCD \) یک مستطیل باشد و قطرهای \( AC \) و \( BD \) آن در نقطه \( O \) یکدیگر را قطع کنند.
چون مستطیل \ فعل و انفعالات خاصی دارد، تمامی زوایای داخلی آن قائم (یعنی 90 درجه) هستند و اضلاع مخالف آن برابرند، میتوان گفت:
1. مثلثهای \( \triangle AOD \) و \( \triangle BOC \) همنهشت هستند.
- چون \( \angle AOD = \angle BOC = 90^\circ \) (چون زوایای در نقاط تقاطع قطرها قائم هستند)
- \( AD = BC \) (چون اضلاع مقابل در مستطیل برابرند)
- \( AO = OB \) و \( DO = OC \) (این حکم را باید اثبات کنیم)
برای اثبات همنهشتی این مثلثها میتوان از قضیه همنهشتی \( SAS \) استفاده کرد:
- \( \angle AOD = \angle BOC = 90^\circ \)
- \( AD = BC \) (برابری اضلاع مستطیل)
- چون مثلثها همنهشت هستند، داریم: \( AO = OB \) و \( DO = OC \)
در نتیجه، قطرها همدیگر را نصف میکنند.
