برای حل این سوال، ابتدا باید یادآوری کنیم که در یک دنباله هندسی، هر جمله به شکل زیر تعریف میشود:
\[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \]
که در آن:
- \( a_n \) جمله n ام دنباله
- \( a_1 \) جمله اول دنباله
- \( r \) قدر نسبت
- \( n \) شماره جمله است.
در این سوال، اطلاعاتی که داریم این است که:
\[ a_3 = 20 \]
\[ a_7 = 56 \]
حال از فرمول دنباله هندسی استفاده میکنیم:
برای جمله سوم:
\[ a_3 = a_1 \cdot r^{(3-1)} = a_1 \cdot r^2 \]
پس داریم:
\[ a_1 \cdot r^2 = 20 \quad (1) \]
و برای جمله هفتم:
\[ a_7 = a_1 \cdot r^{(7-1)} = a_1 \cdot r^6 \]
پس داریم:
\[ a_1 \cdot r^6 = 56 \quad (2) \]
حالا، از معادله (1) استفاده کرده و معادله (2) را تقسیم میکنیم بر معادله (1):
\[
\frac{a_1 \cdot r^6}{a_1 \cdot r^2} = \frac{56}{20}
\]
ساده میشود:
\[
r^4 = \frac{56}{20} = \frac{14}{5}
\]
اکنون مقداری برای \( r^4 \) داریم. پس از چهارتا ریشه گرفتن:
\[
r = \left(\frac{14}{5}\right)^{\frac{1}{4}}
\]
ما برای لگاریتم در این مرحله محاسبه نمیکنیم، اما میتوانیم همینجا به استخراج \( a_1 \) بپردازیم. حال به معادله (1) برمیگردیم:
\[ a_1 \cdot r^2 = 20 \]
حالا \( r^2 \) را داریم:
\[
r^2 = \left(\frac{14}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \Rightarrow a_1 \cdot \sqrt{\frac{14}{5}} = 20
\]
که از اینجا میتوانیم به دست آوریم:
\[
a_1 = \frac{20}{\sqrt{\frac{14}{5}}} \Rightarrow a_1 = 20 \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} = \frac{20\sqrt{5}}{\sqrt{14}}
\]
در این شرایط، ما به خوبی \( a_1 \) و \( r \) را تعیین کردهایم.
برای مشخص کردن دنباله هندسی میتوانیم جملات هر نمرهای را با استفاده از فرمول اصلی پیدا کنیم. امیدوارم این توضیح برای شما مفید بوده باشد.
