برای نوشتن معادلهی سهمی که محور عرضها (محور x) را در نقطهای به عرض ۳ و محور طولها (محور y) را در نقاطی به طول ۴ و ۲- قطع میکند، از اطلاعات داده شده استفاده میکنیم.
1. **محور عرضها (x) در نقطه ۳:**
این بدان معناست که سهمی ما نقطهی ۳ را در محور x قطع میکند، بنابراین یکی از ریشههای معادله \( x = 3 \) میباشد.
2. **محور طولها (y) در نقاط ۴ و ۲-:**
این بدان معناست که سهمی ما در نقاط \( (0, 4) \) و \( (0, -2) \) محور y را قطع میکند. بنابراین، به دنبال پیدا کردن معادلهی سهمی با ریشههای \( y = 4 \) و \( y = -2 \) هستیم.
3. **معادلهی کلی سهمی:**
معادلهی سهمی به طور کلی به فرم زیر نوشته میشود:
\[
y = a(x - h)^2 + k
\]
که در آن \( (h, k) \) نقطهی رأس سهمی است. برای نوشتن معادله، ما پیش از این ریشهها را داریم.
4. **نقطهی رأس (Vertex):**
با توجه به ریشههای موجود، میتوانیم:
- ریشهها را محاسبه کنیم:
- ریشه اول \( y = 4 \) و ریشه دوم \( y = -2 \) است.
- مقدار متوسط این دو ریشه، \( k \) را میدهد:
\[
k = \frac{4 + (-2)}{2} = 1
\]
پس \( k = 1 \).
5. **محل قرارگیری pts محور x:**
بیشینه یا کمینه سهمی در محور x در نقطهای به عرض ۳ قرار دارد، پس \( h = 3 \).
6. **معادله سهمی:**
حال معادله را به صورت زیر مینویسیم:
\[
y = a(x - 3)^2 + 1
\]
اما برای پیدا کردن \( a \)، نیاز داریم که محور y را در نقاط ۴ و ۲- قطع کند. با قرار دادن \( x = 0 \) در معادله، دو معادله خواهیم داشت:
\[
y = a(0 - 3)^2 + 1 = 4
\]
و
\[
y = a(0 - 3)^2 + 1 = -2
\]
از معادله اول:
\[
a(9) + 1 = 4 \Rightarrow 9a = 3 \Rightarrow a = \frac{1}{3}
\]
از معادله دوم:
\[
a(9) + 1 = -2 \Rightarrow 9a = -3 \Rightarrow a = -\frac{1}{3}
\]
حُل نداشته و سوال با نوشتن دو معادله بیمعنا میشود، پس تنها باید یکی از مقادیر \( a \) را انتخاب کنیم. ما به دنبال یک معادله هستیم که از \( y = 4 \) به \( y = -2 \) برگردد.
پس، میتوانیم معادلهی نهایی سهمی را به صورت زیر بنویسیم:
\[
y = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 1
\]
که در آن ویژگیهای مورد نظر را برآورده کرده و با مقادیر داده شده سازگار است.
