برای نوشتن معادله \( y = -x^2 + x + 2 \) به صورت معادله سهمی، لازم است که آن را در قالب استاندارد یک سهمی قرار دهیم. معادله سهمی به شکل کلی \( y = a(x - h)^2 + k \) است که \( (h, k) \) رأس سهمی را نشان میدهد.
ما ابتدا معادله را به شکل استاندارد تبدیل میکنیم. برای این کار، از فرایند کامل کردن مربع (Completing the Square) استفاده میکنیم.
1. معادله را دوباره بنویسید:
\[
y = -x^2 + x + 2
\]
2. عامل منفی را از بخش \( x \) خارج میکنیم:
\[
y = -(x^2 - x) + 2
\]
3. حالا باید بخش \( x^2 - x \) را کامل کنیم. برای کامل کردن مربع، مقدار \(\left( \frac{b}{2} \right)^2\) را محاسبه میکنیم که در اینجا \( b = -1 \) است:
\[
\left( \frac{-1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}
\]
4. ما این مقدار را در داخل پرانتز اضافه و سپس از آن کم میکنیم تا تساوی برقرار شود:
\[
y = -\left(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + 2
\]
5. اکنون میتوانیم از مربع کامل استفاده کنیم:
\[
y = -\left( \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \right) + 2
\]
6. این را سادهتر میکنیم:
\[
y = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} + 2
\]
\[
y = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}
\]
بنابراین معادله به صورت سهمی به شکل زیر نوشته میشود:
\[
y = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}
\]
این معادله نشان میدهد که رأس سهمی در نقطه \( \left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right) \) قرار دارد و زیرا ضریب \( a = -1 \) منفی است، بنابراین سهمی به سمت پایین باز میشود.
