برای تعیین مقدار \( m \) به طوری که \( x = 2 \) طول راس سهمی به معادله \( y = mx^2 + (m - 1)m + 1 \) باشد، ابتدا باید راس سهمی را پیدا کنیم.
معادله عمومی یک سهمی به شکل \( y = ax^2 + bx + c \) است. در اینجا:
- \( a = m \)
- \( b = 0 \) (چون ضریب \( x \) در معادله وجود ندارد)
- \( c = (m - 1)m + 1 \)
فرمول راس سهمی که در محور \( x \) قرار دارد به صورت زیر است:
\[
x_{راس} = -\frac{b}{2a}
\]
با توجه به اینکه \( b = 0 \)، این فرمول به شکل زیر تغییر میکند:
\[
x_{راس} = 0
\]
اما ما میخواهیم که \( x_{راس} = 2 \) باشد. بنابراین برای این که راس سهمی در \( x=2 \) باشد، باید رابطه زیر برقرار شود:
\[
-\frac{0}{2m} = 2
\]
این معادله همیشه درست نیست، بنابراین باید از روش دیگری استفاده کنیم. به یاد داشته باشید که اگر از معادله درجه دوم در فرم عمومی استفاده کنیم، میتوانیم به نوشته اصلی برگردیم:
ما میخواهیم تا راس سهمی \( x = 2 \) باشد، بنابراین در مرحله بعد با قرار دادن \( x = 2 \) در معادله تابع و برابر کردن با مقدار تابع برای راس سهمی، به بررسی مقدار \( m \) خواهیم پرداخت.
اجازه بدهید معادله را دوباره بنویسیم:
\[
y = m(2^2) + (m - 1)m + 1
\]
بنابراین داریم:
\[
y = 4m + (m^2 - m) + 1
\]
\[
y = 4m + m^2 - m + 1
\]
\[
y = m^2 + 3m + 1
\]
در اینجا، برای پیدا کردن مقدار \( m \)، به جذر دیسکرمیننت معادله درجه دوم میرسیم که باید برابر با صفر باشد تا دو ریشه تکراری (یعنی یک راس داشته باشد) داشته باشیم:
\[
D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5
\]
منحنی بههمین خاطر تنها در یک نقطه باریک برابر 2 قرار میگیرد. مقدار \( m \) باید به گونهای انتخاب شود که دیسکرمیننت برابر با صفر شود.
در نهایت، مقدار \( m \) را میتوان با استفاده از حل معادله
\[
3^2 - 4(1)(k) = 0
\]
بدست آورد که باید آن را برای مقادیر خاص محاسبه کنید.
با حل این معادله:
\[
9 - 4k = 0 \implies 4k = 9 \implies k = \frac{9}{4}
\]
پس مقدار \( m \) باید
\[
m = \frac{9}{4}
\]
باشد تا راس سهمی در \( x = 2 \) قرار گیرد.
پاسخ نهایی:
\[
m = \frac{9}{4}
\]
