برای حل معادلهی \( 16(2x - 1) {}^{2} - 25=0 \) با استفاده از روش ریشهگیری، ابتدا باید معادله را به فرم مناسبی تبدیل کنیم.
معادله را میتوان به شکل زیر بازنویسی کرد:
\[
16(2x - 1) {}^{2} = 25
\]
حالا برای حذف عدد 16 از طرف چپ معادله، دو طرف را بر 16 تقسیم میکنیم:
\[
(2x - 1) {}^{2} = \frac{25}{16}
\]
اکنون برای حذف توان دو، از ریشهگیری استفاده میکنیم:
\[
2x - 1 = \pm \sqrt{\frac{25}{16}}
\]
ریشهی این کسر به شکل زیر است:
\[
\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}
\]
بنابراین، معادلهی ما به دو حالت تقسیم میشود:
1. \( 2x - 1 = \frac{5}{4} \)
2. \( 2x - 1 = -\frac{5}{4} \)
حالت اول:
\[
2x - 1 = \frac{5}{4}
\]
با افزودن 1 (که میتواند به شکل \(\frac{4}{4}\) نوشته شود) به هر دو طرف معادله، داریم:
\[
2x = \frac{5}{4} + \frac{4}{4} = \frac{9}{4}
\]
حالا با تقسیم بر 2، به دست میآوریم:
\[
x = \frac{9}{4} \div 2 = \frac{9}{8}
\]
حالت دوم:
\[
2x - 1 = -\frac{5}{4}
\]
با افزودن 1 به هر دو طرف (به شکل \(\frac{4}{4}\))، داریم:
\[
2x = -\frac{5}{4} + \frac{4}{4} = -\frac{1}{4}
\]
حالا با تقسیم بر 2، به دست میآوریم:
\[
x = -\frac{1}{4} \div 2 = -\frac{1}{8}
\]
در نتیجه، جوابهای معادله به صورت زیر هستند:
\[
x = \frac{9}{8} \quad \text{و} \quad x = -\frac{1}{8}
\]
