برای حل این سوالات قسمت الف و ب از ریاضی دوازدهم، میتوانیم به صورت زیر پیش برویم:
### قسمت (الف):
**معادله**: \(\sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}\)
طبق رابطهی مثلثاتی \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)، معادله به صورت زیر بازنویسی میشود:
\[
2 \sin x \cos x = \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
بنابراین، داریم:
\[
\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
حالا مقادیر ممکن \(2x\) را پیدا میکنیم:
\[
2x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi \quad \text{یا} \quad 2x = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi
\]
بنابراین \(x\) به صورت زیر خواهد بود:
\[
x = \frac{\pi}{6} + n\pi \quad \text{یا} \quad x = \frac{\pi}{3} + n\pi
\]
که \(n\) یک عدد صحیح است.
---
### قسمت (ب):
**معادله**: \(\cos x (2 \cos x - \sqrt{3}) = 3\)
این معادله را میتوانیم به صورت زیر حل کنیم:
فرض کنیم \(y = \cos x\)، بنابراین معادله به شکل زیر درمیآید:
\[
y (2y - \sqrt{3}) = 3
\]
به صورت معادلهی درجه دو در میآید:
\[
2y^2 - \sqrt{3}y - 3 = 0
\]
از فرمول حل معادلات درجه دو استفاده میکنیم:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
با \(a = 2\)، \(b = -\sqrt{3}\)، و \(c = -3\):
\[
y = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 24}}{4} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}
\]
\[
y_1 = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}, \quad y_2 = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]
اما چون \(|\cos x| \leq 1\)، تنها \(y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) معتبر است:
بنابراین داریم:
\[
\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]
مقادیر ممکن برای \(x\) عبارتند از:
\[
x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{یا} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi
\]
که \(n\) یک عدد صحیح است.
