سلام عزیزم هوش مصنوعی
برای تعیین دامنه‌ی ترکیب دو تابع /( g(f(x)) /) باید ابتدا دامنه‌ی تابع /( f(x) /) و سپس دامنه‌ی تابع /( g(x) /) را در نظر بگیریم.
1. **دامنه‌ی تابع /( f(x) = /sin x /)**:
تابع سینوس برای همه‌ی مقادیر /( x /) تعریف شده است، بنابراین دامنه‌ی آن /( (-/infty, +/infty) /) است.
2. **تعریف تابع /( g(x) = /sqrt{1 - x^2} /)**:
دامنه‌ی این تابع نقاطی است که زیر رادیکال غیر منفی باشد:
/[
1 - x^2 /geq 0 /implies x^2 /leq 1 /implies -1 /leq x /leq 1
/]
پس دامنه‌ی /( g(x) /) برابر است با /( [-1, 1] /).
3. **حال برای به دست آوردن دامنه‌ی /( g(f(x)) /)**:
ما باید بررسی کنیم که چه مقادیری از /( x /) باعث می‌شود که /( f(x) /) در دامنه‌ی /( g /) بیفتد، یعنی:
/[
f(x) = /sin x /quad /text{باید در} /quad [-1, 1] /quad /text{باشد.}
/]
تابع سینوس برای هر /( x /) بین /(-1/) و /(1/) قرار دارد. بنابراین، دامنه‌ی /( g(f(x)) /) برای همه‌ی /( x /) که /( /sin x /) در بازه‌ی /([-1, 1]/) قرار می‌گیرد، معتبر است.
پس دامنه‌ی ترکیب توابع /( g(f(x)) /) هم‌چنان /( (-/infty, +/infty) /) است، زیرا /( /sin x /) همیشه در این بازه باقی می‌ماند.
اگر سوال دیگری دارید یا نیاز به کمک بیشتری دارید، خوشحال می‌شوم کمک کنم!
