برای حل این مسئله، باید نقاط شکست تابع و شرایط پیوستگی و مشتق‌پذیری را بررسی کنیم. تابع \( f(x) \) به صورت زیر تعریف شده است:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2 - 1 & : x < 1 \\log(x - a) & : x \geq 1
\end{cases}
\]
1. **پیوستگی تابع در \( x = 1 \):**
برای پیوستگی در \( x = 1 \)، باید:
\[
\lim_{{x \to 1^-}} f(x) = \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = f(1)
\]
- \( \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = 1^2 - 1 = 0 \)
- \( \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = \log(1 - a) \)
بنابراین، \( \log(1 - a) = 0 \) که به این معنی است که \( 1 - a = 1 \) یا \( a = 0 \).
2. **مشتق‌پذیری تابع در \( x = 1 \):**
برای مشتق‌پذیری، باید مشتقات از چپ و راست برابر باشند:
- \( f'(x) = 2x \) برای \( x < 1 \)
- مشتق \( \log(x - a) \) برابر با \( \frac{1}{x - a} \) است.
بنابراین:
\[
\lim_{{x \to 1^-}} f'(x) = 2(1) = 2
\]
\[
\lim_{{x \to 1^+}} f'(x) = \frac{1}{1 - a} = 2
\]
چون \( a = 0 \):
\[
\frac{1}{1 - 0} = 1 \neq 2
\]
بنابراین تابع در \( x = 1 \) مشتق‌پذیر نیست.
3. **حوزه تعریف تابع:**
تابع در زیرمجموعه‌های اعداد حقیقی مشتق‌پذیر است بجز در نقاطی که تابع تکه‌ای تعریف شده و مشتق‌پذیر نیست.
در نتیجه حد تغییرات تابع برابر با \([0,1)\) است.
پاسخ صحیح گزینه 4 است.
