برای حل این مسئله، فرض می‌کنیم چهار عدد متوالی دنباله هندسی به صورت \( a \)، \( ar \)، \( ar^2 \)، و \( ar^3 \) باشند، که \( a \) عدد اول و \( r \) قدر نسبت دنباله هندسی است.
1. **شرط اول**: مجموع دو عدد کوچکتر برابر ۲۰ است.
\[
a + ar = 20
\]
2. **شرط دوم**: مجموع دو عدد بزرگتر برابر ۴۵ است.
\[
ar^2 + ar^3 = 45
\]
از معادله اول:
\[
a(1 + r) = 20 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{20}{1 + r}
\]
معادله دوم را با جایگذاری مقدار \( a \) حل می‌کنیم:
\[
a r^2 (1 + r) = 45
\]
جایگذاری \( a \):
\[
\frac{20}{1 + r} \cdot r^2 \cdot (1 + r) = 45
\]
این معادله را به صورت ساده‌تر درمی‌آوریم:
\[
20r^2 = 45
\]
ساده‌سازی می‌کنیم:
\[
r^2 = \frac{45}{20} = \frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2
\]
بنابراین \( r = \frac{3}{2} \) و یا \( r = -\frac{3}{2} \) است. اما از آنجایی که اعداد مثبت هستند، \( r = \frac{3}{2} \).
جایگذاری \( r \) در \( a = \frac{20}{1 + r} \):
\[
a = \frac{20}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{20}{\frac{5}{2}} = 8
\]
پس اعداد دنباله عبارت‌اند از:
\( a = 8 \)، \( ar = 12 \)، \( ar^2 = 18 \)، \( ar^3 = 27 \).
این جواب مطابق با شرایط داده شده است. بنابراین چهار عدد \( 8, 12, 18, 27 \) هستند.
