برای حل این مسئله، از روابط مثلثاتی در مثلث قائم‌الزاویه استفاده می‌کنیم. داده‌های مسئله عبارتند از: \( \text{AC} = 96 \) و \( \cot C = \frac{\sqrt{6}}{2} \).
ابتدا باید مثلث \( \triangle AHC \) را در نظر بگیریم. در این مثلث، داریم:
\[
\cot C = \frac{\text{ADJ}}{\text{OPP}} = \frac{\text{AH}}{\text{CH}}
\]
بنابراین:
\[
\frac{\text{AH}}{\text{CH}} = \frac{\sqrt{6}}{2}
\]
از طرفی داریم:
\[
\sin C = \frac{\text{CH}}{\text{AC}}
\]
چون \( \cot C = \frac{1}{\tan C} = \frac{\cos C}{\sin C} \)، پس:
\[
\sin C = \frac{2}{\sqrt{6}}
\]
حال می‌توانیم \(\text{CH}\) را به دست آوریم:
\[
\text{CH} = \text{AC} \times \sin C = 96 \times \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{192}{\sqrt{6}} = \frac{192 \sqrt{6}}{6} = 32 \sqrt{6}
\]
اکنون، با داشتن \(\text{CH}\)، می‌توانیم \(\text{AH}\) را حساب کنیم:
\[
\text{AH} = \cot C \times \text{CH} = \frac{\sqrt{6}}{2} \times 32 \sqrt{6} = 32 \times \frac{6}{2} = 32 \times 3 = 96
\]
بنابراین، \(\text{AH} = 96\) است.
