برای حل این مسئله، باید به دنبال حداقل مقدار عدد طبیعی \( n \) باشید که نامساوی زیر برقرار باشد:
\[
\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} > \frac{300}{301}
\]
ابتدا توجه کنید که:
\[
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}
\]
از این خاصیت میتوان برای ساده کردن سری استفاده کرد. اگر این سری را تا جمله \( n \)ام جمع کنیم، خواهیم داشت:
\[
\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}
\]
بنابراین، داریم:
\[
1 - \frac{1}{n+1} > \frac{300}{301}
\]
حال میتوانیم این نامساوی را حل کنیم:
\[
\frac{n}{n+1} > \frac{300}{301}
\]
ضرب داخلی طرفین نامساوی را به دست آورید:
\[
301n > 300n + 300
\]
با کم کردن \( 300n \) از طرفین:
\[
n > 300
\]
بنابراین، حداقل مقدار \( n \) که برای آن نامساوی برقرار است 301 میباشد.
