برای حل این مسئله، باید از دو معادله خطی ارائهشده استفاده کنیم.
1. \( a + b = 12 \)
2. \( ab = 32 \)
این مسئله را میتوان یک مسئله تعیین مقدار مجهولات \( a \) و \( b \) با استفاده از معادلات مستقل در نظر گرفت.
راهحل:
ابتدا از رابطهی دوم یعنی ضرب استفاده میکنیم:
\[
a + b = 12 \quad \text{و} \quad ab = 32
\]
با توجه به رابطههای بالا، فرض میکنیم دو مقدار \( a \) و \( b \) که باید بیابیم، ریشههای معادلهی درجه دوم زیر باشند:
\[
x^2 - (a+b)x + ab = 0
\]
یعنی:
\[
x^2 - 12x + 32 = 0
\]
اکنون باید این معادله درجه دوم را حل کنیم. میتوانیم از فرمول کلی ریشههای معادله درجه دوم استفاده کنیم:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
در اینجا، ضرایب معادله به صورت زیر هستند:
\( a = 1 \)، \( b = -12 \)، و \( c = 32 \).
\[
x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}
\]
\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2}
\]
\[
x = \frac{12 \pm 4}{2}
\]
این محاسبات دو ریشهی زیر را میدهد:
\[
x = \frac{16}{2} = 8
\]
\[
x = \frac{8}{2} = 4
\]
بنابراین، مقادیر \( a \) و \( b \) برابرند با ۴ و ۸. این مقادیر به ترتیب یا به صورت \( (a, b) = (4, 8) \) یا \( (a, b) = (8, 4) \) میباشند.
