برای حل این سوالات به توضیحات زیر توجه کنید:
### سوال ۲:
ما داریم:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-a}{h} = 4 \]
بر اساس تعریف مشتق:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = 4 \]
از سوال میدانیم که \( f'(x) = 4 \) و \( f(x) = 0 \).
پس \( f(x) = ax + c \) برای یک عدد ثابت \( c \) و شیب \( a \).
طبق فرضیات دیگر، به احتمال زیاد \( a = 4 \) خواهد بود.
***
### سوال ۴:
#### الف)
تابع داده شده:
\[ f(x) = \left( \frac{x^k - \frac{1}{x^k}}{1-x^k} \right)^5 \]
برای مشتقگیری، نیاز به استفاده از قاعده زنجیری و قاعده حاصلضرب داریم. مشتق تابع به صورت زیر خواهد بود:
1. ابتدا مشتق داخل پرانتز را پیدا میکنیم که ممکن است با استفاده از قاعده خارجقسمت انجام شود.
2. سپس مشتق کل تابع است که بر اساس قاعده زنجیری باید ۵ برابر مشتق درونی در توان ۴ نوشته شود.
#### ب)
تابع داده شده:
\[ f(x) = \sqrt{x^t + \sqrt{x}} \]
برای مشتقگیری، از قاعده زنجیری استفاده میکنیم:
1. مشتق داخلی: \( x^t + \sqrt{x} \)، که مشتق آن برابر است با \( tx^{t-1} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
2. سپس مشتق تابع کل با استفاده از قاعده زنجیری که \( \frac{1}{2\sqrt{u}} \) برای \( u = x^t + \sqrt{x} \) است.
با در نظر گرفتن این روشها میتوانید به صورت کامل به جواب دست پیدا کنید.
